Sistem Bilangan, Himpunan, Relasi, dan Fungsi

Sistem Bilangan

Kelompok bilangan yang sederhana dan paling sering digunakan adalah kelompok bilangan bulat positif (1, 2, 3, ....) dan kelompok bilangan bulat negatif seperti (.... -3, -2, -1). Kedua kelompok bilangan tersebut beserta bilangan nol (yang sering juga disebut bilangan unik) kita sebut bilangan bulat atau integer.

Di samping itu, juga kita kenal kelompok bilangan pecahan negatif maupun positif, seperti :

• Bilangan Rasional, merupakan kelompok bilangan pecahan (baik yang positif maupun negatif) bersama-sama dengan kelompok bilangan bulat (....., ±1/3, ±1/2, ±1/1 ..... ), karena setiap bilangan bulat n pada hakekatnya juga dapat dinyatakan sebagai rasio antara dua bilangan bulat seperti halnya bilangan pecahan, sebagai bilangan pecahan atau rasional n/1.
• Bilangan Irasional, merupakan bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antar dua bilangan bulat. Misalnya : √2, √3, √5, .... dan  π (22/7) serta e = 2,718 merupakan bilangan irasional.
• Kelompok bilangan nyata (real), merupakan kelompok gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
• Bilangan Imajiner atau bilangan tidak nyata, merupakan atau biasa disebut bilangan kompleks. Contoh bilangan imajiner adalah akar bilangan negatir.

Himpunan

Himpunan adalah kumpulan atau kelompok obyek-obyek sejenis/sekelas yang dapat dibedakan secara jelas satu dari yang lain. Sebagai contoh misalnya : Himpunan bilangan nyata, Himpunan mahasiswa ekonomi, Himpunan binatang menyusui, Himpunan pohon tropis, dan lain sebagainya.

Secara umum cara penulisan suatu Himpunan H adalah H = {a, e, u, ... }, dimana a, e, u adalah anggota-anggota atau elemen-elemen ataupun unsur-unsur dari Himpunan H. Contoh: Himpunan bilangan bulat positif, P = {1, 2, 3, ... } atau P = {x | x = semua bilangan bulat positif} atau P = {x = semua bilangan bulat positif | 2 < x < 7 } 2 < x < 7 merupakan pembatas yang artinya himpunannya hanya terdiri dari 3, 4, 5, 6 saja.

Perhatikan Gambar

Struktur Bilangan

Hubungan Bilangan dan Operasi Himpunan

Apabila kita memiliki dua atau lebih Himpunan, maka ada beberapa kemungkinan hubungan yang dapat terjadi di antara mereka, yaitu:

1. Himpunan yang satu sama (identik) dengan yang lain. Suatu himpunan A dikatakan sama dengan B, apabila elemen-elemen A sama dengan elemen-elemen himpunan B. Misalnya x adalah elemen dari A (x ∈ A) dan x juga merupakan elemen dari B (x ∈ B), maka A = B.
2. Himpunan yang satu merupakan bagian (sub-set) dari yang lain. Himpunan S merupakan sub-set dari himpunan A, apabila elemen-elemen himpunan S merupakan bagian dari elemen-elemen himpunan A. Sebagai contoh, bilangan asli S = {1, 2, 3, ... } adalah merupakan sub-set dari bilangan cacah A = {0, 1, 2, 3, ...}.
3. Himpunan yang satu beririsan (interseksi) dengan yang lain. Himpunan A memiliki interseksi (∩) dengan himpunan B, apabila sebagian dari elemen-elemen himpunan A dan B adalah sama. Sebagai contoh misalnya, himpunan A = {a, b, e, f} dan himpunan B = {a, c, d, e}, maka x A ∩ B = {a, e}. Secara umum dapat dituliskan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.
4. Himpunan yang satu merupakan gabungan (union) dari himpunan-himpunan yang lain. Himpunan U merupakan gabungan atau union dari himpunan A dan B, apabila elemen-elemen U merupakan penambahan dari elemen A dan elemen B. Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 7}, maka A ∪ B = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
5. Himpunan yang satu bukan bagian dari himpunan yang lain tetapi merupakan bagian dari himpunan universal. Himpunan A atau disebut komplemen A, adalah himpunan obyek yang bukan merupakan elemen A, melainkan merupakan unsur/elemen dari himpunan universal V; dimana V adalah himpunan yang besar yang beranggotakan seluruh obyek dalam pembahasan. Secara simbolis : A' = {x ∈ V | x ∉ A}. Contoh : V = {x = Bilangan bulat}, apabila A = {x = Bilangan genap}, maka A' = {x | x = Bilangan bulat ganjil (gasal)}.

Perhatikan Diagram Venn berikut

Diagram Venn

Dalil-Dalil (Hukum-Hukum) Operasi Himpunan

Ada tiga dalil (hukum) operasi himpunan yang kita kenal, yaitu

• Hukum Komutatif, kita dapat mengoprasikannya seperti halnya hukum aljabar, di mana : a + b = b + a atau a x b = b x a. Cara ini selanjutnya dapat kita terapkan pada operasi interseksi ataupun union, sebagai berikut: Irisan/Interseksi : A ∩ B = B ∩ A , Gabungan/Union : A ∪ B = B ∪ A.
• Hukum Asosiatif, dapat dioprasikan seperti halnya hukum aljabar, di mana a + (b + c) = (a + b) + c. Dengan demikian, operasi hukum asosiatif untuk irisan dan gabungan adalah Irisan/Interseksi : A ∩ (B  ∩ C) = (A ∩ B)  ∩ C, Gabungan/Union : A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
• Hukum Distribusi, kita juga dapat mengoprasikan hukum aljabar : a x (b + c) = (a x b) + (a x c). Dalam operasi himpunan adalah irisan antara A dengan gabungan B dan C = Irisan antara A dengan B digabung dengan irisan antara A dan C. Penulisan dengan operasi himpunan adalah A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ataupun sebaliknya.

Relasi

Untuk menunjukkan bagaimana unsur-unsur himpunan yang satu berhubungan dengan unsur-unsur himpunan yang lain dapat dilakukan dengan cara-cara:

1. Menyusun pasangan berurut (ordered pairs). 
2. Hasil kali Kartesius (Cartesian product)
3. Persamaan atau pertidaksamaan.

Fungsi

Fungsi adalah relasi yang memiliki ciri khusus, yaitu: "setiap nilai x hanya memiliki atau hubungan dengan hanya satu nilai y". 

Pemetaan (mapping)

Bila kita menulis suatu fungsi y = f(x), maka notase f dapat dipandang sebagai aturan yang menunjukkan suatu tipe relasi tertentu, di mana setiap nilai x memiliki suatu nilai y. Sebagai contoh, misalkan : f(x) = 3 + 2x. Berapa besarnya nilai y akan tergantung nilai x yang kita pilih. Misalnya jika nilai x yang kita pilih adalah : 1 dan 3, maka nilai y yang kita peroleh adalah : f(1) = 5 dan f(3) = 9. Oleh karena itu, fungsi seringkali di interpretasikan sebagai suatu cara bagaimana himpunan nilai-nilai x dipetakan (mapped) atau di transformasikan kepada himpunan nilai-nilai y.

Perhatikan gambar

Pemetaan

Secara simbolis f : x → y.

Batas-batas nilai x, dalam hal ini 1 sampai dengan 3 disebut daerah asal (domain), sedangkan batas-batas nilai y, dalam hal ini 5 sampai dengan 9 disebut daerah hasil (range).

Jenis-jenis Fungsi

Beberapa jenis fungsi yang penting yang perlu dibahas diantaranya sebagai berikut

• Fungsi polinom dan Fungsi pangkat. Bentuk umum dari fungsi polinom (fungsi dengan suku banyak) adalah : y = a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + ..... + a_nxⁿ.
• Fungsi eksponen dan fungsi logaritma. Kedua fungsi ini memiliki hubungan yang sangat erat dan akan banyak kita temui khususnya pada pembahasan tentang masalah pertumbuhan atau analisis dinamis pada umumnya. Bentuk umum dari fungsi-fungsi eksponen dan fungsi-fungsi logaritma ini adalah :  y = ab^x  ; y = ae^rt dan log y = log a + x log b ; log y = log a + rt log e. Dimana, a, b dan r adalah konstanta/parameter, sedangkan x atau t adalah variabel bebas atau waktu (time). 

Adapun hukum/aturan dasarnya dari fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah sebagai berikut : 

1. a⁰ = 1
2. a^m x aⁿ = a^m+n. 
3. a^m/aⁿ = a^m-n.
4. (a^m)ⁿ = a^mxn.
5. log (ab) = log a + log b
6. log (a/b) = log a - log b
7. y = a^b → b = ^alog y atau b = log_a y.
8. y = ab^cx → log y = log a + cx log b.

• Fungsi-fungsi Invers, Eksplisit dan Implisit. Hubungan antara y dan x, pada hakekatnya dapat dinyatakan dalam tiga fungsi, yaitu :

1. y = f(x)
2. x = F(y)
3. ∅(x,y) = 0.

Cara lain penulisan Fungsi

Pada saat-saat tertentu, di mana kita harus menyelesaiakan masalah yang lebih kompleks dan harus menggunakan banyak simbol, kita dituntut untuk lebih menyederhanakan  dan menghemat pemakaian/penulisan simbol. Untuk memenuhi maksud ini, kita dapat menuliskan:

1. Q = f(P) menjadi Q = Q(P)
2. C = g(Q) atau C = C(Q)
3. R = h(Q) atau R = R(Q).

Demikianlah beberapa penjelasan mengenai Sistem Bilangan, Himpunan, Relasi, dan Fungsi. Semoga bermanfaat.

Sumber: Soeheroe Tjokroprajitno, Matematika Ekonomi, 1994.