Persamaan lingkaran, Rumus persamaan lingkaran serta Contoh soal

Persamaan Lingkaran

Hai kawan-kawan, kali ini kita akan membahas tentang Persamaan lingkaran. Bersama ahli cara langsung saja kita bahas.
Lingkaran adalah sekumpulan titik yang berpusat pada satu titik yang biasanya disebut dengan jari-jari lingkaran. Pada dasarnya, lingkaran mempunyai jari-jari dan dameter dimana diamater sama dengan dua kali dari jari-jari atau garis yang melalui titik pusat lingkaran dari titik terluar lingkaran menuju titik luar seberang lingkaran.

Persamaan lingkaran merupakan suatu titik yang menempati titik-titik tertentu (misal x,y) yang berjarak sama dengan satu titik tertentu.

Rumus Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) yang berjari-jari r. Perhatikan gambar.

Dari gambar. Misalkan titik Z(x,y) adalah sembarang titik lingkaran. Z' adalah proyeksi Z atau garis yang terhubung dari Z(x,y) dan X. Dan x = OZ'. Sehingga ΔOZ'Z merupakan segitiga siku-siku.

Dengan menggunakan teori pythagoras maka lita dapat menentukan r
misalkn OZ'=x, Z'Z=y. Maka
r² = x² + y²

Karena titik Z(x,y) sembarang titik maka rumus di atas berlaku untuk semua titik yang ada di dalam lingkaran.

Rumus Persamaan lingkaran yang berpusat di O(x,y) dengan jari-jari r. Perhatikan gambar.

Misalkan Z(x,y) sembarang titik pada lingkaran yang berpusat di O(0,0). Dapat dilihat pada titik Z merupakan siku-siku.
diketahui:
O(x,y)Z = x-a
Z(x,y)Z = y-b
O(x,y)Z(x,y) = r
dengan menggunakan rumus pythagoras maka:
r² = (x-a)² + (y-b)²
karena Z(x,y) sembarang titik rumus di atas berlaku pada semua titik di lingkaran yang berpusat di O(x,y).

Bentuk umum persamaan lingkaran
Jika persamaan diatas (Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan Persamaan lingkaran yang berpusat di O(x,y)) dijabarkan dan urutkan sesuai dengan aturan abjad dan pangkat turun maka di dapatkan rumus Bentuk umum persamaan lingkaran. yaitu
r² = (x-a)² + (y-b)²
r² = x² - 2ax + a² + y² -2by + b²
dengan A= -2a dan B= -2b maka a= -1/2 A dan b= -1/2 B
c = a² + b² - r²  maka  r² = a² + b² - c
r² = (-1/2 A)² + (-1/2 B)² - c
r² = 1/4 A² + 1/4 B² - c
Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x² + y² + Ax + By + C = 0
dimana A, B, C adalah bilangan real.
atau
Ax² + Ay² + Bx + Cy + D = 0
dimana A tidak sama dengan 0 dan A, B, C, D merupakan bilangan bulat.
dengan pusat (-1/2 A, -1/2 B) dan jari-jari r² = 1/4 A² + 1/4 B² - c

Rumus mencari jari-jari lingkaran jika Persamaan lingkaran diketahui (x² + y² + Ax + By + C = 0) adalah dengan menggunakan rumus

Contoh soal
1). Perhatikan gambar.

Dari gambar di atas, carilah persamaan lingkarannya

Jawaban:

Diketahui:

Pusat lingkaran (a,b) = (4,5)

r = 4-1 = 3

Ditanyakan:

Persamaan lingkaran ..... ?

Penyelesaian:

Rumus

r² = (x-a)² + (y-b)²

masukkan nilai yang diketahui ke dalam rumus

a=4 , b=5

3² = (x-4)² + (y-5)²

9 = x² - 2(4x) + 4² + y² -2(5y) + 5²

9 = x² - 8x + 16 + y² -10y + 25

x² + y² - 8x -10y + 32 = 0

jadi Persamaan lingkarannya adalah x² + y² - 8x -10y + 32 = 0

2). Diketahui persamaan suatu lingkarang adalah x² + y² - 8x + 4y - 5 = 0. Carilah titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran tersebut.

Jawaban:

Diketahui:

Persamaan lingkaran x² + y² - 8x + 4y - 5 = 0

Ditanyakan:

Titik pusat lingkarann ..... ?

Jari-jari lingkaran ...... ?

Penyelesaian:

Rumus

x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat lingkaran (-1/2 A, -1/2 B)

dari rumus di atas dapat diketahui

A = -8 , B = 4, C = -5
Masukkan nilai yang diketahui kedalam rumus, maka:
Titik pusat (-1/2 (-8), -1/2 (4)) = (4,-2)
Jari-jari lingkaran

Jadi titik pusat lingkaran adalah (4,-2) dan jari-jari lingkaran r = 5

Itulah beberapa pemaparan tentang persamaan lingkaran, rumus persamaan lingkaran serta contoh soal. Jika anda mempunyai pertanyaan seputar materi di atas, jangan sungkan-sungkan untuk bertanya di papan komentar yang ada di bawah dan kami akan berusaha untuk menjawab semua pertanyaan anda. Semoga bermanfaat.

Sumber: Matematika SMA.