Tujuan konsep Derivatif
Dengan mempelajari konsep derivatif dan aturan-aturan diferensial, kita tidak hanya meramalkan ke mana arah perubahan nilai-nilai keseimbangan sebagai akibat dari perubahan parameter (secara kualitatif), tetapi juga dapat mengetahui berapa besar pengaruh perubahan (secara kuantitatif). Dengan demikian kita tidak hanya dapat menjelaskan apa yang akan terjadi secara kualitatif, tetapi juga dapat meramalkan apa yang akan terjadi secara kuantitatif.
Kegunaan konsep derivatif dan aturan-aturan diferensial berikut ini, tidak hanya terbatas pada analisis komparatif statis, melainkan juga bermanfaat untuk analisis-analisis ekonomi lainnya, khususnya analisis margial dan elastisitas.
Konsep Derivatif
Walaupun dalam hubungannya dengan analisis statis komparatif yang ingin kita bahas adalah pengaruh perubahan parameter terhadap nilai keseimbangan endogen; sebagai titik tolak dapat kita pergunakan fungsi umum, yaitu:
y = f(x)
Dalam hal ini, variabel bebas x dapat berlaku sebagai variabel endogen ataupun eksogen atau parameter. (Ingat parameter adalah konstanta yang bervariabel).
Hasil Bagi Perubahan (Difference Quotient)
Misalkan dari persamaan y = f(x) parameter x berubah nilainya dari x0 menjadi x1, di mana x1 = x0 + Δx ; menyebabkan perubahan nilai keseimbangan endogen y dari y0 menjadi y1, di mana y1 = y0 + Δy. Rasio antara Δy dengan Δx kita sebut difference quotient. Secara matematis dapat kita uraikan, sebagai berikut :
x = x1 → y1 = f(x1) = f(x0 + Δx)
x = x0 → y0 = f(x0)
y1 - y0 = f(x0 + Δx) - f(x0)
Difference Quotient :
Δy/Δx = [f(x0 + Δx) - f(x0)]/Δx
Limit dan Derivaritif (fungsi turunan)
Seringkali, kita tertarik pada tingkat perubahan y sebagai akibat dari perubahan yang kecil dari x. Secara matematis dapat dituliskan :
Limit (Δx → 0) Δy/Δx
Limit dari ..... jika Δx mendekati nol. Bila, saat Δx → 0, limit dari hasil bagi perubahan/perbedaan Δy/Δx ada, limit tersebut disebut derivatif atau fungsi turunan atau garis singgung atau slope (kecondongan) dari fungsi y = f(x).
Cara lain untuk menulis fungsi turunan dari y = f(x), khususnya apabila hanya satu variabel bebas, adalah :
Limit (Δx → 0) Δy/Δx atau y' atau f'(x) atau dy/dx atau df/dx
Aturan Diferensial Suatu Fungsi-Satu variabel bebas
Aturan fungsi konstanta
y = f(x) = k → dy/dx atau dk/dx atau f'(x) = 0
Aturan fungsi pangkat
y = f(x) = cxn → dy/dx = f'(x) = cnxn-1
Aturan Diferensiasi Dua atau Lebih fungsi -satu variabel
Aturan penjumlahan-pengurangan
y = f(x) ± g(x)
dy/dx = d[f(x) ± g(x)]/dx = f'(x) ± g'(x)
Aturan hasil kali
y = f(x) g(x)
dy/dx = d[f(x) g(x)]/dx = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)
Aturan hasil bagi
y = f(x)/g(x)
d f(x)/dx g(x) = [g(x) f'(x) - f(x) g'(x)]/g2(x)
Aturan Diferensiasi Dua Fungsi-Dua Variabel Berbeda
Aturan berantai/fungsi komposit
z = f(y) di mana y = g(x); dengan demikian z = f[y{g(x)}]
dz/dx = f'(y) g'(x) = (dz/dy)(dy/dx)
Aturan Diferensiasi Fungsi Invers dan Fungsi Implisit
Fungsi invers
Apabila y = f(x), maka dx/dy = 1/(dy/dx)
Fungsi implisit
Apabila F(x,y) = 0, maka : dy/dx = - (Fx/Fy)
Diferensial
Di atas telah dijelaskan bahwa, dy/dx menunjukkan perubahan y (Δy) yang terjadi sebagai akibat dari perubahan x (Δx) yang kecil. Dengan demikian apabila, Δx diketahui, maka besarnya perubahan y (Δy) adalah :
Δy = (dy/dx)Δx
Selanjutnya, apabila Δy kita ganti dengan dy dan Δx kita ganti dengan dx, kita peroleh :
dy = (dy/dx)dx
Besaran dy di sini sering disebut sebagai diferensial dari y, dan dx sendiri disebut diferensial dari x. Sementara itu, perlu ditegaskan lagi bahwa, notase (dy/dx) adalah menunjukkan besarnya lereng atau slope dari fungsi y, atau seperti telah dijelaskan, merupakan derivatif atau turunan dari fungsi y = f(x).
Analisis Marginal
Marginal Revenue
Marginal Revenue (MR) merupakan tambahan penerimaan (vanue) sebagai akibat dari tambahan penjualan satu unit. Untuk mengetahui besarnya tambahan revenue kita harus mengetahui fungsi penerimaan total atau total revenue (R), sebelum kita lakukan proses diferensiasi.
Dalam matematis rumus dapat dituliskan :
MR = d (TR)/dQ
Cara lain untuk mendapatkan fungsi MR adalah dengan melakukan proses diferensiasi dengan aturan hasil kali :
MR = dR/dQ = d (AR . Q)/dQ = [AR (dQ)/dQ]+[Q (dAR)/dQ]
memperlakukan AR = f(Q) dan Q = g(Q)
Marginal Cost
Marginal Cost (MC) adalah tambahan cost sebagai akibat dari tambahan produksi (Q) sebesar satu unit. Dalam kegiatan produksi kita kenal dua jenis biaya yaitu :
- F = Biaya tetap (fixed cost), adalah biaya yang besarnya tetap tidak tergantung dari produksi (Q).
- V = Biaya variabel (variable cost), adalah biaya yang besarnya tergantung dari besarnya produksi (Q)
Dengan demikian biaya total adalah :
C(Q) = F + V(Q)
Bentuk umum fungsi yang bersifat non linear adalah :
V(Q) = bQ - cQ2 + dQ3
sehingga, apabila F = konstan = a, fungsi C(Q) = F + V(Q) menjadi :
C(Q) = a + bQ - cQ2 + dQ3
Fungsi biaya marginalnya adalah :
MC = dC/dQ = b - 2cQ + 3dQ2
Disamping fungsi biaya total C(Q) dan fungsi biaya marginal MC(Q), kita juga mengenal fungsi biaya variabel rata-rata (AC = Average Cost). Fungsi AVC dapat kita peroleh dengan membagi VC dengan Q; sedangkan AC kita dapat memperolehnya dengan membagi fungsi biaya total C(Q) dengan Q.
AVC = V(Q)/Q = b - cQ + dQ2
AC = C(Q)/Q = a/Q + b - cQ + dQ2
Selisi antara AC dan AVC sebesar a/Q adalah biaya tetap rata-rata (AFC = Average Fixed Cost)
Hubungan antara fungsi-fungsi : AVC dan AC dengan MC
Dalam teori ekonomi mikro kurva MC memotong kurva AVC dan kurva AC pada titik-titik terendah. Secara matematis artinya adalah, pada saat slope (kecondongan) kurva AVC dan AC mendatar atau pada saat turunan fungsi AVC dan AC nol, besarnya AVC dan AC sama dengan MC. Untuk menunjukkan hal ini kita dapat melakukan diferensiasi fungsi-fungsi AVC dan AC dan menyamakannya dengan nol, kemudian memasukkan nilai Q yang kita peroleh pada fungsi-fungsi : AVC, AC dan MC.
Marginal Revenue Product
Marginal Revenue Product (MRP) adalah tambahan revenue sebagai akibat dari tambahan faktor produksi satu unit. Misalkan faktor produksi yang diasumsikan bervariabel adalah tenaga kerja (Labor). Fungsi MRP of Labor secara umum dapat dicari, sebagai berikut :
Fungsi Revenue : R = R(Q)
Fungsi produksi : Q = Q(L)
Fungsi MRPL :
dR/dL = R'(Q) x Q'(L) = dR/dQ x dQ/dL = MR x MPPL
Elastisitas
Konsep elastisitas pada hakekatnya mempelajari pengaruh dari persentase perubahan variabel tidak bebas (yang diterangkan) terhadap persentase perubahan variabel bebas (yang menerangkan). Rasio antara persentase perubahan variabel tidak bebas dengan persentase perubahan variabel bebas disebut koefisien elastisitas.
koefisien elastisitas = (persentase perubahan variabel tidak bebas)/(persentase perubahan variabel bebas)
Elastisitas permintaan misalnya, mempelajari berapa persen jumlah barang yang diminta (Qd) akan berubah (naik atau turun) : apabila harga barang itu sendiri atau harga barang lain baik yang bersifat komplementer maupun yang bersifat substitusi terhadapnya ataupun pendapatan (income) berubah (naik atau turun) sebesar satu persen.
Bagi seorang produsen atau penjual mengetahui besarnya (koefisien) elastisitas permintaan adalah penting karena, (koefisien) elastisitas permintaan terhadap harga misalnya, memiliki hubungan yang erat dengan besar kecilnya kenaikan atau penurunan permintaan penjualan.
Elastisitas Permintaan
Sesuai dengan faktor-faktor utama penentu permintaan, besarnya (koefisien) elastisitas permintaan dapat dibedakan dan dihitung menurut, rumus-rumus :
1). Elastisitas permintaan terhadap harga barang bersangkutan (own price elasticity of demand) atau sering disebut price elasticity of demand saja :
(Q = Quantity demanded; P = price)
2). Elastisitas permintaan terhadap harga barang lain yang memiliki hubungan erat (cross price elasticity of demand) :
Exy < 0, apabila barang Y bersifat komplementer terhadap barang X
Exy > 0, apabila barang Y bersifat substitusi terhadap barang X
Exy disebut elastisitas silang.
3). Elastisitas permintaan terhadap perubahan pendapatan (Income elasticity of demand)
Koefisien elastisitas perumusannya dapat digeneralisir :
E = Fungsi Marginal / Fungsi rata-rata
Analisis Statis Komparatif
Seperti telah dijelaskan, pokok permasalahan analisis statis komparatif adalah membandingkan nilai-nilai keseimbangan sebelum dan sesudah terjadinya perubahan dalam parameter.
Dalam teori ekonomi mikro perubahan parameter ini misalnya karena perubahan faktor-faktor eksogen seperti : Pc, Ps atau M, dalam fungsi permintaan; atau karena perpajakan dan subsidi pada fungsi penawaran. Sedangkan dalam teori ekonomi mikro, perubahan parameter dapat terjadi juga karena perpajakan atau perubahan investasi atau pengeluaran pemerintah.
Metode Pasar
Nilai-nilai keseimbangan akan berubah apabila terjadi perubahan pada parameter : a, b, c dan d. Berbeda dengan derivatif dari fungsi-fungsi sebelumnya, di sini baik P dan Q, dinyatakan atau merupakan fungsi dari parameter sebagai berikut :
Demand : Qd = f(P) = a - bP ≠ (a, b > 0)
Supply : Qs = g(P) = -c + dP ≠ (c, d > 0)
Nilai-nilai Keseimbangan :
P = (a+c)/(b+d) = [a/(b+d)] + [c/(b+d)]
Q = (ad-bc)/(b+d) = [ad/(b+d)] - [bc/(b+d)]
(a, b, c dan d > 0)
Untuk mencari pengaruh dari perubahan suatu parameter : a, b, c atau d terhadap perubahan nilai keseimbangan P atau Q : kita lakukan parsial deferensial, yaitu memegang tetap parameter-parameter lain yang tidak berubah, atau dengan kata lain memperlakukan parameter-parameter lainnya sebagai konstanta atau koefisien, sebagai berikut :
1). Pengaruh perubahan a atau c terhadap P :
δP/δa = δP/δc = 1/(b+d) , [1/(b+d) adalah nilai koefisien a atau c]
2). Pengaruh perubahan a atau c terhadap Q :
- δQ/δa = d/(b+d) , [d/(b+d) adalah nilai koefisien dari parameter a]
- δQ/δc = -b/(b+d) , [-b/(b+d) adalah nilai koefisien dari parameter c]
3). Pengaruh perubahan b atau d terhadap P :
δP/δb = δP/δd = -[(a+c)/(b+d)2]
[Aturan Hasil Bagi]
4). Pengaruh perubahan b atau d terhadap Q :
- δQ/δb = -[δ(a+c)/(b+d)2]
- δQ/δd = b(a+c)/(b+d)2
[Aturan Hasil Bagi]
Formula-formula pada hakekatnya adalah generalisasi dari penyelesaian permasalahan dan dapat dimanfaatkan untuk mencocokkan (Cross-check) hasil perhitungan apabila nilai-nilai parameter diberikan (diketahui).
Dari hasil-hasil diferensiasi di atas kita tidak hanya dapat menerangkan pengarah dari perubahan suatu parameter tetapi juga dapat meramalkan besamya perubahan terhadap nilai-nilai keseimbangan. Dengan demikian, pengarah perubahan parameter terhadap nilai-nilai keseimbangan dapat ditentukan arah dan besarnya yang merupakan ringkasan dari hasil-hasil diferensiasi di atas.
Tabel Pengaruh perubahan parameter a, b, c dan d terhadap nilai-nilai keseimbangan P dan Q
Parameter
Variabel
|
a
|
b
|
c
|
d
|
P
|
+1/(b+d)
|
-[(a+c)/(b+d)2]
|
+1/(b+d)
|
-[(a+c)/(b+d)2]
|
Q
|
+d/(b+d)
|
-[d(a+c)/(b+d)2]
|
-b/(b+d)
|
+[b(a+c)/(b+d)2]
|
Cara lain untuk melihat arah pengaruh (positif atau negatif) dari perubahan parameter terhadap nilai-nilai keseimbangan, dapat juga kita lakukan dengan menggunakan grafik.
Model Pendapatan Nasional
Angka-angka pengadaan (k), untuk masing-masing pengeluaran otonom adalah :
Investasi :
kI = δY/δIo = +1/(1-c)
Pengaruh Pemerintah :
kG = δY/δGo = +1/(1-c)
Pajak :
kT = δY/δTo = -c/(1-c)
Model Pendapatan Nasional Yang Lebih Lengkap
Agar supaya model pendapatan nasional kita lebih mendekati realita mari kita masukkan ke dalam model unsur perdagangan internasional, serta menambahkan unsur pajak dengan komponen lain, yaitu komponen yang besarnya dipengaruhi oleh pendapatan nasional itu sendiri. Dengan demikian, model kita akan terdiri dari, fungsi-fungsi :
Konsumen : C = Co + cYd
Investasi : I = Io
Pengeluaran Pemerintah : G = Go
Pajak : T = To + tY
Ekspor : X = Xo
Impor : M = Mo + mY
catatan : t = persentase pajak terhadap Y, dan m = ΔY/ΔM = Marginal Propensity to Import (MPI)
Ekuilibrium terjadi, apabila :
pengeluaran Agregat = Pendapatan Nasional
C+I+G+(X-M) = Y
Co + c(Y-To-tY) + Io + Go + (Xo-Mo-mY) = Y
Co-cTo+Io+Go+Xo-Mo = Y(1-c+ct+m)
jadi :
Y = (Co-cTo+Io+Go+Xo-Mo)/(1-c+ct+m)
Angka-angka pengadaan :
Konsumen = kC
Investasi = kI
Pengeluaran Pemerintah = kG
Pajak = kTo
Ekspor = kX
Impor = kMo
kC = kI = kG = kX = 1/(1-c+ct+m)
kMo = -1/(1-c+ct+m)
kTo = -c/(1-c+ct+m)
Sumber: Soeheroe Tjokroprajitno, Matematika Ekonomi, 1994.
No comments:
Post a Comment